【数字图像处理】5.2:灰度图像-图像增强 平滑之均值滤波、高斯滤波

Abstract: 数字图像处理:第28天
Keywords: 平滑,均值滤波,高斯平滑

本文最初发表于csdn,于2018年2月17日迁移至此

开篇废话

今天的废话是,我早上来了开始写博客,写了大概和下文差不多的内容,写了很多,就在发表以后,我震惊了,博客是空的,没有内容,我就表示呵呵了,不知道是网速的问题还是CSDN的问题,总之,我就不说啥了。
今天的内容是是平滑,先介绍均值和高斯平滑,高斯平滑是均值平滑的一个扩展,或者是一个进化版本。均值的原理是,一个规定的邻域内,所有像素的平局值作为最终计算的结果,每个像素的权值相同,为总像素的倒数,而高斯平滑是上述的升级版本,邻域内每个像素的权值不同,而权值是由高斯函数确定的。
均值平滑和高斯平滑都是线性的,也就是,一旦参数给定,模板就确定下来,不会因为位置和像素分布不同而改变,而线性模板的基本运算是卷积。
线性模板的另一个性质就是可以进行频域分析,比如高斯平滑的频域仍然是高斯的,而且是低通的,这与前面讲到的平滑是消除尖锐的噪声(高频)的操作相互证明了其正确性,均值平滑是一个盒状滤波器,其频域为sinc函数,也是一个近似的低通,但sinc函数有旁瓣,所以,模板宽度选择不好可能会有一些不好的效果,比如有些高频会被保留,这一点也比较好理解。
比较下两种均值(加权和不加权)。比如一维的一个序列 ${0,0,0,0,0,1000,0,0,0,0}$ ,明显1000是个边缘,如果使用3个宽度的均值平滑,结果是 ${0,0,0,0,333,333,333,0,0,0}$ ,边缘被完全模糊掉了。但如果使用 ${1,2,1}$ 的近似高斯平滑模板,结果是 ${0,0,0,0,250,500,250,0,0,0}$ ,边缘被保留。所以,加权平均(高斯)可以保留一定的细节。
对于设计的线型滤波器,其效果可以先是由傅里叶变换,到频域进行观察,便可大致推测出其效果,测试图片(灰度输入):
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均值滤波

数学

基本数学原理公式,以3x3为例:
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得到滤波模板:
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应用于图像的计算公式:
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上式中的w(s,t)恒等于1。

效果

观察下用3x3,5x5和7x7的均值模板与图像卷积的结果:
3x3模板:
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5x5模板:
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7x7模板:
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可以得出结论,均值滤波的模板越大,图像越模糊。

代码

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void MeanMask(double *mask,int width,int height){
double w=width;
double h=height;
double meanvalue=1.0/(w*h);
for(int i=0;i<width*height;i++)
mask[i]=meanvalue;


}
void MeanFilter(IplImage *src,IplImage *dst,int width,int height){
double * pixarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * dstarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * mask=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src, j, i);
}
}
MeanMask(mask, width, height);
RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
cvSetReal2D( dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);
}
}
free(pixarry);
free(dstarry);
free(mask);
}

这个代码并不是最快速的,只是为了和高斯平滑相互保持一致。所以,如果要使用,需要先优化。

高斯滤波

高斯平滑,就是一种加权的均值,权值由高斯函数确定。

数学

高斯函数:
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在三维中的形状如下:
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生成上图的matlab代码:

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% 公式: p(z) = exp(-(z-u)^2/(2*d^2)/(sqrt(2*pi)*d)
X = 0 : 1 : 100;
Y = 0 : 1: 100;

% 方差
d= 49;
Z = zeros(101, 101);
for row = 1 : 1 : 101
for col = 1 : 1 : 101
Z(row, col) = (X(row) - 50) .* (X(row)-50) + (Y(col) - 50) .* (Y(col) - 50);
end
end
Z = -Z/(2*d);
Z = exp(Z) / (sqrt(2*pi) * sqrt(d));
surf(X, Y, Z);

当坐标(u,v)远离原点时,函数值越小。这与概率的知识相符,越远离中心(原点)的像素灰度值,对中心像素灰度值的相关性越小,所以被赋予的权值越小。

效果

观察效果,使用不同标准差,和模板大小的结果:
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结论:

  • 同等模板大小,标准差越大越模糊
  • 标准差相同,模板越大图像越模糊。

代码

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void GaussianMask(double *mask,int width,int height,double deta){
double deta_2=deta*deta;
int center_x=width/2;
int center_y=height/2;
double param=1.0/(2*M_PI*deta_2);
for(int i=0;i<height;i++)
for(int j=0;j<width;j++){
double distance=Distance(j, i, center_x, center_y);
mask[i*width+j]=param*exp(-(distance*distance)/(2*deta_2));

}
double sum=0.0;
for(int i=0;i<width*height;i++)
sum+=mask[i];
for(int i=0;i<width*height;i++)
mask[i]/=sum;
}


void GaussianFilter(IplImage *src,IplImage *dst,int width,int height,double deta){
double * pixarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * dstarry=(double *)malloc(sizeof(double)*src->width*src->height);
double * mask=(double *)malloc(sizeof(double)*width*height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
pixarry[j*src->width+i]=cvGetReal2D(src, j, i);
}
}
GaussianMask(mask, width, height, deta);
RealRelevant(pixarry,dstarry,mask,src->width,src->height,width,height);
for(int j=0;j<src->height;j++){
for(int i=0;i<src->width;i++){
cvSetReal2D( dst,j,i,dstarry[j*src->width+i]);
}
}
free(pixarry);
free(dstarry);
free(mask);
}

总结

之前写了很多结论,现在都忘完了,因为理论很简单,主要是观察结果,线性平滑基本就介绍这些,下篇介绍非线性的。

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