【线性代数】2-1:解方程组(Ax=b)

Abstract: 通过不同的角度解方程组$Ax=b$
Keywords: row picture,column Picture,system of equations

本课视频课程已上线:向量和线性方程组

解方程组

解方程组

$$
x-2y=1 \\
3x+2y=11
$$
同志们,来解方程组,这是小学四五年级的数学题,也是线性代数的核心问题,解方程组,没错2x2的方程组没啥好说的,咔咔咔,就算粗来了,但是200x200的规模就有点大了,所以线性代数知识就有用了。

行视角(Row Picture)

不知道Picture这个词本身就是这种含义,还是Pro Strang喜欢这么说,Open Course和书上都是各种各样的Picture。
什么是Row Picture?
看到方程组中的两个等式么,每一行就是一个Picture,或者叫做Graph,在二维坐标系下,表现出来的是一条直线,同样第二个方程也是一条直线,直线上所有的点都满足方程,所以两条直线相交处就是方程组的解。

列视角(Column Picture)

这个是重点了,因为这个能引出后面一些列的知识,如果我们竖着看,把方程的系数排列整齐,把每个未知数的所有系数按照列向量排列:
$$
x\begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix}+y\begin{bmatrix}-2\\2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\11 \end{bmatrix}=\textbf{b}
$$
怎么样,意外不意外,惊喜不惊喜,和前面讲到的Linear Combination是不是一毛一样,经过scale的两个向量相加得到另一个向量,接着我们就开始寻求scalars了。

也就是我们通过寻找特定的scalars,来组合出我们规定的 $\textbf{b}$

在图像上,column picture 就变成了两个(或若干个)向量组合得到目标向量了,如图:

系数矩阵(Coefficient Matrix)

下面矩阵正式出场,我们把上面那两个系数向量挨着拼接起来,就能得到一个系数矩阵(Coefficient Matrix)
$$
A=\begin{bmatrix}1&-2\\3&2\end{bmatrix}
$$
然后写成方程形式就是:
$$
A\textbf{x}=\textbf{b}
$$
其中 $\textbf{x}=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}$,x 和 y就是上面的未知数。

矩阵乘向量(Matrix · Vector)

没错,上面的表示就是一个系数矩阵x向量,更通用一些,我们不在局限于上面的2x2的A,而是放飞自我的A,x也是放飞自我的x,那么

行Row

$$
A\textbf{x}=\begin{bmatrix}
row(1)\cdot \textbf{x}\\
row(2)\cdot \textbf{x}\\
\dots\\
row(n)\cdot \textbf{x}\\
\end{bmatrix}
$$
系数矩阵每一行和未知数向量点乘,得到的就是方程组的原始形式。

列Column

$$
A\textbf{x}=col(1)x_1+rcol(2)x_2+\dots+col(n)x_n\\
$$
系数矩阵的每一列的线性组合

单位矩阵(Identity Matrix)

神奇矩阵$I$,$IA=A$看到没,这就是他牛的地方,和谁乘在一起都是谁
$$
\begin{equation}
I=\begin{bmatrix}
1\\
&1 & & \\
&&\ddots\\
&&& 1\\
&&&& 1
\end{bmatrix}
\end{equation}
$$
空白处全是0
左乘右乘都不变!

更多未知数

当n超过3的是后row picture就不能picture了,三维以上的就画不粗来了,当然column Picture也画不出来,但是多维向量更容易想象,并不是说column picture比row好,但是从线性代数角度,col的意义更丰富.

总结

这是线性最基础,最核心的思想之一,虽然简单,但却是所有知识的源头。

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