【线性代数】2-2:消元(Eliminate)

Abstract: 从小学解方程的消元开始,推导出线性代数的知识,包括先关矩阵计算
Keywords: Eliminate 消元,Pivot 主元,Row Exchange 行交换,Upper Triangular 上三角矩阵

本课视频课程已上线:消元思想

消元

小学老师教我们解方程,受限就是把两个未知数变换成一个未知数,或者说用另一个未知数来表示当前未知数。

$$
x+y=1\\
x-y=0\\
$$
我们会把第一个方程变形,然后和第一个方程做减法或者加法计算
$$
-x-y=-1……..(1_{temp})
$$
左右同时和(2)相加
$$
-2y=-1………(2)
$$
当这步完成时,第一步方程没变,我们减去的变形版本是个中间版本,所以方程组:
$$
x+y=1\\
0x+y=\frac{1}{2}
$$
消元的顺序很多,这个只是我的习惯,不过和线性代数书上刚好差不多,经过消元,我们得到了Upper Triangular Matrix $A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1 \end{bmatrix}$

上三角矩阵(Upper Triangular Matrix)

只有对角线,及对角线上方数字不为0,其他部分都是0的矩阵
$$
\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
&a_{22} & \cdots &a_{2n} \\
& & \ddots & \vdots \\
& & &a_{nn}
\end{array}\right)
$$
没错,a不能全为0
消元的最后终结果就是上一篇中的 $A\textbf{x}=\textbf{b}$ 变成了
$$
U\textbf{x}=\textbf{c}
$$

带回(Back Substitution)

从最后一行开始,把未知数一个个回带解出来

主值(Pivot)

消元过程中,我们要看列的未知数,和未知数的系数,策略就是首先干掉第一行一下的所有的第一个未知数,通过对第一行进行缩放,来得到中间(temp)表达式,使得第一行下面的所有行的第一个未知数全部消失,然后对第二行做类似的操作,消掉第二行以下的所有第二个未知数。最后是系数矩阵白城上三角矩阵。
那么问题来了,有的时候,你消元到第二行的时候,第二个未知数在刚才的消元过程中牺牲了,顺带也给干掉了,很不幸,我们这时候为了得到标准的上三角矩阵,肯定要用其他行(第一行不行)的方程和第二行的方程进行置换,来保证第二个未知数存在。

在消元过程中,系数矩阵每行中第一个不为0的数字叫主元(pivot)
消元后,主元在主对角线上。
eg:
上面upper triangular matrix的对角线元素就是主元。

注意:主元不等于零,如果一行全是0,那么没有主元。
消元过程中当前行乘以某个系数得到temp过程中,系数
$$ l_{ij}=\frac{entry\,to\,eliminate\,in\,row\,i}{pivot\,in\,row\,j} $$
Pivot in Row j 就是当前的主元

如果主元个数小于未知数个数,又会引出一个新的概念,singular后面再说

消元失败(Eliminate Faile)

消元失败,我们记得解方程会有两种特殊情况,一种是无数个解,一种是没有解。
比如你有三个方程,两个未知数,就很有可能没有解
如果你有一个方程,两个未知数,肯定有英菲尼迪个解
但是这个描述是小学的,根据back substitution的过程,我们确定,方程解的个数和pivot直接相关:

总结

消元那步看不懂,就想象着把矩阵变成三角的,然后按照这个思路自己写个方程试试,过程中感受下主元的威力,主元是个非常重要的概念,用处特别多。。。

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