【线性代数】3-3:秩(Rank)

Abstract: 本文将介绍线性代数中最最最重要的概念之一,秩(Rank)
Keywords: Rank,Row Reduced form,Pivot Columns,Free Columns,Special Solutions

秩(Rank)

来段废话吧,之前写过一个小短文关于学习的,我把能力分成知识和经验两种方面来说,知识要考学习,而经验要依靠不断的练习和思考,以及通过知识作为基础来升级创造经验。不过看看周围那些掌握了更多社会资源的人,他们经验相当丰富,各种各样的经验,但是知识却有所欠缺,这样就使得某些产品和服务发生了根本上的变化,为了掩盖其中有一些不良变化,这些人又会利用自己丰富的经验来掩盖或者转移问题,这样下去不知道会产生些什么。

秩(Rank)

Rank,the ordinary members of an organization (such as the enlisted soldiers of an army),谋组织原有的成员,中文翻译“秩”,把八个字翻译成一个字,意思字形上还没什么关系,所以我们以后不会用这个字,博客中仅使用Rank。
前面我们所有的知识都依靠方程组来推进的,Rank也一样,毕竟线性代数就是研究方程组的,方程组$Ax=b$在消元过程中,有些行最后的结果是$0x=0$这个现象从字面上理解就是上面的方程和这行的方程存在倍数关系,比如本行的方程是$2x+2y=2$那么上面可能有一行$x+y=1$或者其他等价方程,还有可能是上面几个方程的线性组合刚好和本行方程一致,这样的意思就表明,这行方程对于全局求解没有提供任何有用的信息,比如描述一个人,A说你是个男的,B说你不是个女的,B这个信息就没用了(也可以说A的信息没用),那这样虽然有两条信息,但是原有的信息(原有的成员)就是1,B的信息可以通过A的演化出来,所以Rank就是矩阵所表示的方程组中那些原有的成员的数量。

Defination: The rank of A is the number of pivots.This number is r

解释,如果矩阵中存在pivot那么证明,第i行的pivot下面的行没办法表示出第i行,上面的也没办法表示第i行

秩一 Rank)

只有一个pivot的矩阵,是一种特殊的矩阵
$$
A=\begin{bmatrix}
1&3&10\\
2&6&20\\
3&9&30
\end{bmatrix}
\to
R=\begin{bmatrix}
1&3&10\\
0&0&0\\
0&0&0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\\2\\3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1&3&10
\end{bmatrix}
=uv^T
$$
对于上面的例子可以看出,Rank one矩阵的分解形式可以理解为两个向量的outer product,那么矩阵A的Nullspace等于R的Nullspace:
$$
Ax=0
\to
uv^Tx
=0 \to
u(v^Tx)=0 \to
v^Tx=0
$$
可以观察出,$Ax=0$表明x在A的Nullspace中, $v^Tx=0$表明 $x$和 $av^T$ 相互垂直
也就是行空间内的任意向量($av^T$)和Nullspace内的任意向量垂直。

Rank r还是行空间和列空间的维数,同时跟Nullspace的维度有关!

自由列和主列

3-2:Nullspace中对Free Columns和Pivot Columns有相关介绍,下面再介绍一些相关的性质,Free Columns是不包含Pivot的列,Pivot Columns则是包含Pivot的列,
对于任何一个Free Column都是其前面pivot列的线性组合。
举个例子,我们不看具体数字就看形状
$$
\begin{bmatrix}
1&x&x&x&x&x&x\\
0&1&x&x&x&*&x\\
0&0&0&1&x&x&x\\
0&0&0&0&0&1&x\\
0&0&0&0&0&0&1\\
0&0&0&0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
$$
我们直接把矩阵写成R的形式(A是原始矩阵,U是上三角矩阵,R是reduced row echelon matrix,pivot上下都是0,通过方程线性组合而得到)
这个R中第三列明显是个free column,星号表示任意数字,都能够用第一列和第二列的线性组合得到,第五列也可以通过一二四列组合出来。

Defination: The pivot columns are not combinations of earlier columns.The free columns are combinations of earlier columns.The combinations are the Special Solutions

特解(Special Solutions)

Special Solutions上一篇也提到过了,我不知道怎么翻译(particular solution和special solution分不清谁是谁)。通俗得说就是给free variables赋予特殊值,然后求出pivot对应的未知数的,一般我们都是分别设置0和1,一个为1其他是0,然后迭代。

$Ax=0$ has r pivots and n-r free variables: n columns minus r pivot columns.The nullspace matrix M contains the n-r special solutions .Then $AN=0$

可以这么理解,n-r个free variables每个都被设置成1一次,共n-r个special solutions.

原方程组中独立的方程数就是rank的大小,独立的概念在后面介绍,到时候回来看会非常惊艳。

最后一个知识利用到了前面讲到的分块乘法,回忆我们的方程组,如果未知数按照$x_1,x_2,x_3,\dots,x_n$的方法排列,我们可以得到系数矩阵A,但是我们稍微调换一下未知数顺序比如$x_2,x_1,x_3,\dots,x_n$他的系数矩阵B就是A中第一列和第二列交换的结果。所以我们可以根据pivot所在的列进行冲洗排列,比如上面的那个星号矩阵就可以得到:
$$
\begin{bmatrix}
1&x&x&x&x&x&x\\
0&1&x&x&x&x&x\\
0&0&1&x&x&0&x\\
0&0&0&1&x&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
\to
\begin{bmatrix}
1&0&0&0&0&x&x\\
0&1&0&0&0&x&x\\
0&0&1&0&0&0&x\\
0&0&0&1&0&0&0\\
0&0&0&0&1&0&0\\
0&0&0&0&0&0&0\\
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
I&F\\
0&0
\end{bmatrix}
$$
那么这个新的R我们称为$R_{new}$,那么他的Nullspace:
$$
R_{new}=
\begin{bmatrix}
I&F\\
0&0
\end{bmatrix}
N=\begin{bmatrix}
-F\\I
\end{bmatrix}
R_{new}N=0
$$
$-F$ 包含r个pivot variables,并且$R_{new}$中的I和N中I规模是不一样的。

Conclusion

总结一下,这篇从原文来看有点模糊,就是前一篇的知识也有后一篇的知识也有而且融合在一些,想捋顺出来一点点说有点费劲,写了一篇用了一下午,下面看看还能不能再写两篇。

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