【线性代数】3-4:方程组的完整解( $Ax=b$ )

Abstract: Ax=b的完整解,以及一个解,infinity个解,没有解的所有条件和说明
Keywords: Ax=b,Special Solution,Full Column Rank,Full Row Rank,Complete Solution

方程组的完整解

$Ax=b$

之前我们已经研究了 $Ax=0$的相关内容,值得说一下的是,列空间和nullspace是有些区别的,列空间指的是b所在的空间,而nullspace是x所在的空间,这个要区别一下,这些所有空间都是针对矩阵的。

特解(Particular Solution)

搞不懂Particular Solution和Sceptical Solution有啥区别的可以仔细看看了,之前我也没发现其有什么根本不同,Particular Solution是把所有的free variables设置为0,来一个完整的例子
$$
\begin{bmatrix}
1&3&0&2\\
0&0&1&4\\
1&3&1&6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\\6\\7
\end{bmatrix}
$$
Augmented Matrix:
$$
\begin{bmatrix}
1&3&0&2&1\\
0&0&1&4&6\\
1&3&1&6&7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
A&b
\end{bmatrix}
$$
经过消元,对原始矩阵方程消元和对Augment Matrix消元得到结果相同,这里就只写augment matrix:
$$
\begin{bmatrix}
1&3&0&2&1\\
0&0&1&4&6\\
0&0&0&0&0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
R&d
\end{bmatrix}
$$
通过定位pivot可以确定free columns是第二列和第四列,如果我们把$x_2,x_4$设置为零,那么就得到了x为
$$
\begin{bmatrix}
x_1\\x_2\\x_3\\x_4
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1\\0\\6\\0
\end{bmatrix}
=x_{particular}
$$
可以通过回代验证$Rx=d$或者$Ax=b$这里的free variables都是0,那么就说这个解是particular的,而且可以发现pivot对应的x位置与d有关系,按顺序就是d对应的元素,这不是巧合,观察矩阵可以得到相应的结论。


这是我们到目前位置讨论的方程组的两种解,一个当b=0的时候,一个当b不等于0的时候,如果我们把这两个方程组左右相加,那么就得到
$$
Ax_p=b\\
Ax_n=0\\
Ax_p+Ax_n=b+0\\
A(x_p+x_n)=b
$$
那么完整的解(式子中的数字来自上面的例子,nullspace我没有写出来,大家可以自行验证):

为什么完整解是上看的式子呢,可以看下一节的详细介绍。

完整解(The Complete Solution)

前面我们确定了完整的解就是$x_p+x_n$,那么我们到底有多少个解呢?

序号 m&r n&r Matrix Shape Ax=b Solution
1 r=m r=n Square and Invertible Ax=b 1
2 r=m r<n Short and Wide Ax=b $\infty$
3 r<m r=n Tall and Thin Ax=b 0 or 1
4 r<m r<n Not full rank Ax=b 0 or $\infty$

这四种情况,简单讲解下:


第一种:是方阵,我们最标准的方程组,rank与m,n相等,那么就一个解。这种情况下,消元后的R是单位矩阵:
$$
R=\begin{bmatrix}I\end{bmatrix}
$$


第二种:如果方程组的个数小于未知数的个数,而rank与行相同,rank=m<n,消元后的R是如下矩阵:
$$
R=\begin{bmatrix}I&F\end{bmatrix}
$$


第三种:如果方程组的个数大于未知数的个数,而rank与列数相同,rank=n<m,消元后的R是如下矩阵:
$$
R=\begin{bmatrix}I\\0\end{bmatrix}
$$
如果b与R下面全是0的行对应的行不是0,那么就没有解


第四种:如果有效的方程组的个数小于未知数的个数,与情况二相似,但是有效方程数还小于远方程数,rank<m,rank<n,消元后的R是如下矩阵:
$$
R=\begin{bmatrix}I&F\\0&0\end{bmatrix}
$$
如果b与R下面全是0的行对应的行不是0,那么就没有解

自此,Ax=b 的所有解以及对应的情况都已经搞定了,但是为啥complete solution是$x_p+x_n$呢?这就是个悬案了,后面一定给出答案,现在就暂时记住就好了(回归课堂教育,先记住,就没有然后了)。

Conclusion

这篇也比较凌乱,不像写算法那种博客很流畅,解释,代码,总结这种套路在这不太实用,因为知识错综复杂,本文上面的四种解的情况才是重点,包括什么时候没有解,什么时候无数个解,如果按照表和矩阵R的形式来看,就会豁然开朗,后面继续。。。

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