【线性代数】5-1:行列式性质(The Properties of Determinants)

Abstract: 本文介绍矩阵的行列式相关性质
Keywords: Determinants,Properties of the Determinants

行列式性质

行列式

懵逼场景1

啊。。行列式。。大学学线性代数第一课就是这个,各位老铁啊,你们知道一脸懵逼是什么样子么?我当时就是,这是个啥玩意?怎么就跑出来了,然后我清楚的记得,老师告诉我们线性代数就是解方程,但是各位啊这特么行列式跟方程有毛关系啊。

懵逼场景2

前两天看MIT的多变量微积分,极坐标代换的时候,例如:
$$
\int \int_R xdA=\int \int_R xdxdy\\
x=cos(\theta)r\\
y=sin(\theta)r\\
\int \int _R cos(\theta)r \cdot rdrd\theta
$$
这是没错的过程,但是如果我们正常的带入一下好像不太对:
$$
dx=-sin(\theta)rd\theta+cos(\theta)dr\\
dy= cos(\theta)rd\theta+sin(\theta)dr
$$
带入到原式:
$$
\int \int_R cos(\theta)r d(cos(\theta)r)d(sin(\theta)r)\\
=\int \int_R cos(\theta)r \cdot (-sin(\theta)rd\theta+cos(\theta)dr) \cdot (cos(\theta)rd\theta+sin(\theta)dr)\\
=\int \int cos(\theta)r(-sin(\theta)cos(\theta)r^2d^2\theta+cos^2(\theta)rdrd\theta-sin^2(\theta)rd\theta dr+sin(\theta)cos(\theta)d^2r)
$$
什么情况,这个带入看起来没啥问题啊,但是这个结果肯定不对,二重积分可以简单看做是面积的求和,所以这个小面积有问题(就是被积分的部分有问题,具体的下面继续),微积分教材在这里引入了雅克比矩阵,因为啥他们没说就说要这么算,所以我们到线性代数上寻找一下结果

行列式是个数字(Determinants is a Number)

行列式最后得到了一个数字,行列式应该称为一种运算,像加减法一样,结果是个数字,对于矩阵A, $det(A)$ 这个数字包含了很多关于矩阵A的很多信息,比如矩阵是否可逆,并且有一些有趣的几何物理这是计算行列的是用途,行列式具有很多性质,就像加法有交换和结合的性质一样,行列式的性质就是今天我们主要要写的内容,至于解决懵逼场景,学完这章,大家都应该豁然了。
求行列式的方法主要有三种:

  1. pivot formula :通过pivots这个是电脑的计算方法,通过消元(elimination)得到pivots,通过pivots的乘积得到determinant,如果矩阵rank小于行或列,矩阵是奇异的,这时候没有逆,determinant是0(因为pivots数量等于rank,小于行或者列,那么剩下的pivots位置是0所以乘起来就是0)
  2. big formula :哈哈哈,就是我大学课本上写的,就是通过一个比较复杂的公式给出计算方法
  3. cofactor formula:代数余子式的方法

到目前为止,任何关于行列式长什么样我们都不知道,也不知道他能干啥,但是好像有很多不错的性质,所以Pro. Stang说,孩子们,直接看定义没什么意思,我们来通过性质来学习下吧。

这种方式让我想到了陶哲轩大神的analysis(中文译:《实分析》)目前只看了第一章,通过皮阿诺公理来推到出自然数的加法乘法。。。可以充分的感受到这些大师们对我们小白的爱,他们洗的书有点“来吧,孩子,我来告诉你怎么来学会这些知识”,读起来比较友好。

行列式的性质(Properties of the Determinant)

上面废话那么多,下面开始学术一点了,一下的性质中前三个是basic properties(rule 1 2 3),可以用前三个推导出后面的所有。
行列式的写法, $det(A)$ 或者 $|A|$
$$
det(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix})=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}
$$
讲了大半天,终于知道行列式长什么样了,下面看性质了

1.单位矩阵的行列式 $det(I)=1$
$$\begin{vmatrix}
1&&\\
&\ddots&\\
&&1
\\\end{vmatrix}=1$$
2.交换行的时候,行列式结果变换正负号
$$\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d
\\\end{vmatrix}=
-\begin{vmatrix}
c&d\\
a&b
\end{vmatrix}
$$
eg. 结合rule1 和rule2 能够得到一个关于permutation matrix P的性质,因为P是单位矩阵I经过行变换来的,所以 $det(P)=1$ 如果做了偶数次行变换, $det(P)=-1$ 如果做了奇数次行变换
3.行列式对于矩阵中的每个行是线性的,注意这里说的是对矩阵中每个行是线性的,并不是对整个矩阵是线性的,比如最明显的: $ det(I+I)\neq det(I)+det(I) $ , 这里的线性也表现在行乘法和行加法
$$
\begin{vmatrix}
ta&tb\\
c&d
\end{vmatrix}=
t\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d
\end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix}
a+a’&b+b’\\
c&d
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
a&b\\
c&d
\end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}
a’&b’\\
c&d
\end{vmatrix}
$$
上面的性质跟面积和体积非常相似,比如你把一条边扩大t倍,体积也被扩大了t倍,并且单位矩阵的行列式等于1,这些都和体积(多于3维的我们也暂时叫体积吧)
上面三条已经能完全决定行列式的值了,到这我们就可以通过性质推到出 $n \times n$ 的矩阵的行列式的值了,但是那就没啥意思了,继续推到其他性质可能会更有帮助(原文说直接推到行列式的结果有点难,我认为大致思路就是通过乘法和加法分解成 $det(I)$ 的线性组合)
4.行列式的两行相等,行列式的值是0
$$
\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}=0
$$
证明方法很多,书上用到rule2,交换两行,变换符号后发现
$$
\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}
$$
所以: $\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}=0$
这里有个延伸,在Boolean Algebra中上述论证不成立,因为-1=1,啥意思?c++中的bool变量除了0其他任何值都是1,所以-1=1,这时候基础规则变成了1,2,4,这三条规则可以构建boolean algebra中行列式。
5.某一行减去另一行的倍数,行列式不变
$$
\begin{vmatrix}a&b\\c-\ell a&d-\ell b\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}
$$
证明过程:
$$
\begin{vmatrix}a&b\\c-\ell a&d-\ell b\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}a&b\\c &d \end{vmatrix}+
\begin{vmatrix}a&b\newline -\ell a&-\ell b\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}a&b\\c &d \end{vmatrix}
-\ell\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}
$$
使用到了rule3 ,rule4。
6.当行列式中有一行都是0的时候,行列式为0
$$
\begin{vmatrix}0&0\\c&d\end{vmatrix}=0\\
\begin{vmatrix}a&b\\0&0\end{vmatrix}=0
$$
证明使用rule3 和rule4 可以轻松得到(把非0行加到0行,得到rule4的条件)
7.三角矩阵A, $det(A)=a_{11}a_{22}\dots a_{nn}$
$$
\begin{vmatrix}a&b\\0&d\end{vmatrix}=ad\\
\begin{vmatrix}a&0\\c&d\end{vmatrix}=ad
$$
证明也不难,用rule5 能够得到一个对角矩阵(消掉b),再用rule3和rule1,就得到了结果
8.奇异矩阵的行列式为0,可逆矩阵的行列式不等于0

证明前面应该提到了,从消元的角度来说,当一个矩阵的行列式是0证明其中有pivot不存在(在矩阵中用0填充)这样的话行列式存在全是0的行,所以行列式为0.
这里利用rule7加上消元就能得到行列式的一种算法:
$$
\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}a&b\\c-a \cdot \frac{c}{a}&d-b \cdot \frac{c}{a}\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}a&b\\0&d-b \cdot \frac{c}{a}\end{vmatrix}=a(d-b \cdot \frac{c}{a})=ad-bc
$$
第一步使用rule5 ,然后是rule7
值得注意的是消元过程可能会有permutation的过程那么 $PA=LU$ 可以得到:
$$
det(P)det(A)=det(L)det(U)\\
det(P)=\pm 1\\
det(L)=1\\
det(A)=\pm det(U)
$$
9.det(AB)=det(A)det(B)

这个看起来好像挺正常,但证明确有些困难,证明2x2的矩阵都要算上一会儿,但是这时候Pro. Stang给出了个snappy的方式,证明:当 $det(B)\neq 0$ 的情况下, $D(A)=\frac{det(AB)}{det(B)}$ 满足rule1 rule2 rule3,那么D(A)就是det(A)
(这个地方的逻辑我有点混乱,为啥通过他满足1,2,3就知道他一定是det(A)呢:
解答一下,想了一下想明白了,我们是怎么定义的determinant的?没有定义?没错,说到现在我们根本没说过行列式的定义,给出了表达形式,和8个性质,其中前3(4)个性质是basic,后面为衍生的,也就是说定义行列式从目前来讲是通过前三个性质来定义的,所以满足性质者就是(条件中矩阵的)行列式)

property 1: 如果 $A=I$ 那么 $\frac{det(B)}{det(B)}=1$ 看起来rule1 没什么问题
property 2: 如果A中的任意两行进行交换,那么根据矩阵乘法,AB的中两行也进行了交换,那么 $\frac{det(AB)}{det(B)}$ 要变号,rule2 满足
property 3: 先看乘法,A其中一行乘以一个系数 $\ell$ ,根据乘法法则AB的结果也在同一行乘以了 $\ell$ ,那么乘法满足;继续看加法如果在A中的一行加上一个行向量那么:
$$
\begin{bmatrix}
a+a’&b+b’\\
c&d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e&f\\
g&h
\end{bmatrix}=
(\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
a’&b’\\
0&0
\end{bmatrix})
\begin{bmatrix}
e&f\\
g&h
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
a&b\\
c&d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e&f\\
g&h
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
a’&b’\\
0&0
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e&f\\
g&h
\end{bmatrix}
$$
这样来看 $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}$ 就是AB, $\begin{bmatrix}a’&b’\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}e&f\\g&h\end{bmatrix}$ 只有第一行有数字,通过简单的计算得出,A中加上一行,AB中也加上了一行,满足property3(如果这个地方看着有点乱,那个笔算一下)
也就是上面给出证明对于矩阵A的一种计算D满足rule1,rule2,rule3,那么我们确定D是关于A的行列式操作,证毕
所以 $det(AB)=det(A)det(B)$ .并且衍生出了当 $B=A^{-1}$ 是 $AA^{-1}=I$ 那么 $det(A)det(A^{-1})=1$
10.$det(A^T)=det(A)$ 矩阵的determinant对于矩阵的转置保持不变性,
证明过程如下:
对A进行分解:$PA=LU$ 两侧同时转置 $A^TP^T=U^TL^T$
根据rule9: 原始分解形式 $det(P)det(A)=det(L)det(U)$ 转置后 $det(P^T)det(A^T)=det(L^T)det(U^T)$

首先 $det(P)=det(P^T)=\pm 1$
其次 $det(L)=det(L^T)=1$ 对角线上全是1
第三 $det(U)=det(U^T)$ 对角矩阵,determinant就是对角线乘积,转置前后不变rule7; 所以 $det(A)=det(A^T)$ 证毕

rule10,相当于把前面的rules扩大了一倍,因为所有的对行性质都能扩展到对列的了,比如一列都是0 的行列式结果是0

总结

今天臭不要脸的把自己的博客发给了爱可可老师,结果爱老师还真就帮忙转发了,希望今天能看到留言,三个月了,一条留言都没有,太尴尬了。还有网友留言问有没有微积分和数学分析,概率论。哈哈。这都是我要写的,这样来说还是有人愿意学知识的,明天继续。。。。

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