【数理统计学简史】1.2 分赌本问题

Abstract: 本文介绍经典的分赌本问题的历史,和最后得出的解法,为期望的出现做了铺垫
Keywords: 分赌本问题,二项分布,期望,帕斯卡三角

分赌本问题

问题描述:

A,B二人赌博,各出赌金 a 元,他们拥有相同的获胜概率(也就是 $\frac{1}{2}$ ),约定,谁先获得S场胜利,谁获得 2a 元的全部赌注金,但是由于某种原因,赌博无法进行,此时 A获得了 $S_1$ 场胜利,B获得了 $S_2$ 场胜利,( $S_1,S_2$ 都小于 $S$ ),那么我们应该怎么把赌注分给两人才算是公平?
本问题最早的记载出现在 1494年 帕西奥利的一本著作,其中 $S=6,S_1=5,S_2=2$ 的情况。

分析问题,首先最重要的一句话是问题中的问题,如何分配才算公平,这就是最关键的问题所在,当时每个人都对此问题的公平的理解有所不同,如何分配就变成了对公平的定义,比如下面这几种方案:

  1. 记录问题的帕西奥利给出的解法是:按照 $S_1:S_2$ 的比例分配
  2. 塔泰格利亚在 1556年 怀疑,这个问题没有数学解法,应该交给法官处理,但是他也给出了一个数学解 $S_1>S_2$ 时, A 取走自己的全部赌注 a 元,并拿走 B的赌注的 $\frac{S_1-S_2}{S}$ ,也就是A拿走 $\frac{S_1-S_2+S}{S}a$ 元,这时候的比例是 $S+S_1-S_2:S-S_1+S_2$
  3. 1603年 法雷斯泰尼根据某种理由提出按照 $2S-1+S_1-S_2:2S-1-S_1+S_2$ 的比例分配。
  4. 1539年 卡丹诺,在其著作中通过比较深的推理提出解法 $r_1=S-S_1,r_2=S-S_2$ 赌注按照 $r_2(r_2+1):r_1(r_1+1)$ 的比例分给A和B。

虽然卡丹诺这个解法不知道根据啥得到的,但是他注意到了起决定性的是 $S_1,S_2$ 和 $S$ 之间的差距,而不是 $S_1,S_2$ 本身。
这个问题的根本原因在于人们当时对期望的认识不统一,这些数学家们都意识到这一点,但是没有人把期望和概率联系到一起
学概率,期望这个词是最不好理解的,如果从这个问题来看,期望的字面意思是继续进行下去的结果,或者是未来有可能发生的情况,这和这个题目很合适。
解决这个问题的思路是:假设赌博继续进行下去,个人最终获得胜利的概率,按照这个概率分赌本是公平的。
按照这个思路,赌博再进行至多 $r=r_1+r_2-1$ 局,就能得到最终结果,如果A获胜,至少要再赢 $r_1$ 场,按照二项分布 $n=r,p=\frac{1}{2}$,那么A获胜的概率是:
$$
p_A=\sum^{r}_{i=r_1}\begin{pmatrix}r\\i\end{pmatrix}(\frac{1}{2})^i(\frac{1}{2})^{r-i}=\sum^{r}_{i=r_1}\begin{pmatrix}r\\i\end{pmatrix}2^{-r}\\
p_B=1-p_A
$$
得到上面结果,我们按照 $p_A:p_B$ 分配赌注,,结果是 A获得 $2ap_A$ B获得 $2ap_B$ 这两个结果就是A、B在当时状态下的期望。
以上解法为 1654年 帕斯卡提出的,他用了两种方法,一种是地推公式,一种是帕斯卡三角,我们叫杨辉三角

1710年 蒙特姆特在一封信中给出了上述解法的通用形式,也就是两人获胜的概率不必相等,后来他又把这个推广到多个赌徒的情况下。
分赌本的最重要的作用是让概率和数学期望产生联系,而且这个过程中使用了:组合法,递推公式,条件概率和全概率公式等。这些工具至今我们仍然在使用,这个问题使得早起概率的简单计数,进入了更深入精细的阶段。

总结

身边所有事都蕴含了有趣的数学,真正能发现其中乐趣的人改变了数学的面貌。

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