【数理统计学简史】2.2 狄莫弗的初步结果

Abstract: 本文介绍狄莫弗上一篇之后得出的关于二项分布的近似计算
Keywords: 二项分布,斯特林公式

狄莫弗的初步结果

狄莫弗接着前面写的,狄莫弗继续他的研究,二项分布,三个参数,使用函数的写法 $b(N,p,i)$ ,三个变量明显研究起来困难,所以控制变量,只研究一个参数 $b(2m,\frac{1}{2},m)$ 然后再研究中心项与任意一项的比,也就是 $\frac{b(m)}{b(m+d)}$ 这里的 $b$ 进行了简化,把三个参数变成了一个参数,也就是 $b(2m,\frac{1}{2},m)$
狄莫弗在 1721年得到下面的结果,当 $N\to \infty$ 时有:
$$
b(m)\sim 2.168\frac{(1-\frac{1}{N})^N}{\sqrt{N-1}}\tag{5}
$$
$$
\text{log}(\frac{b(m)}{b(m+d)})\sim (m+d-\frac{1}{2})\text{log}(m+d-1)\\
+(m-d+\frac{1}{2})\text{log}(m-d+1)-2m\text{log}m+\text{log}(\frac{m+d}{m})\tag{6}
$$
狄莫弗的证明在《统计学简史》的书中p44,有狄莫弗的证明,虽然这个结论至今没什么用了,但是证明过程相当有用,因为我们这个系列的目的是让大家了解数理统计的发展,但是有些喜欢细节的同学们可以去查下原文。
(5)的结论现在我们已经在书上见不到了,因为我们有更好的近似结论了,而且(5)对狄莫弗后续研究也没啥作用,
另外(6)中的 $d$ 可以随 $N$ 变化,有一定限制,在斯特林公式下,可以明确的看到在极限情况下 $\frac{d}{N}\to 0$ 。虽然狄莫弗没有给出这个条件,但是他在证明的时候也没有违反这个条件。

总结

本文虽短,但是狄莫弗的研究进入到了关键阶段,后面与斯特林沟通后,更好的结果出现了。

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