【数理统计学简史】2.0 狄莫弗的二项概率逼近

Abstract: 本文作为第二章的开篇,主要介绍狄莫弗在二项概率逼近方面的研究,顺便解决了前面一篇我们说的伯努利大数定律中 $N$ 的确定方式。
Keywords: 狄莫弗,二项概率逼近

狄莫弗的二项概率逼近

本章开篇

前面提到的设某事件A的概率为 p未知,在同样的条件下独立进行N次试验,或者观察,其中同样的条件表明事件A出现的概率p在每次试验中都保持不变。发现事件A发生 $X$ 次, $\frac{X}{N}$ 称为事件A在这N次试验中的的频率,用现在数学语言描述,伯努利的大数定律就是说当 $N\to \infty$ 的时候,频率 $\frac{X}{N}$ 收敛于 $p$ ,然后伯努利就开始研究这个 $N$ 最少需要多大才能满足 $P(|\frac{X}{N}-p|\leq \varepsilon)\geq \frac{c}{c+1}$ 其中 $\varepsilon>0$ 为常数并且很小, $c>0$ 为常数并且很大。
伯努利给出的答案上文已经有描述,其侄儿尼古拉斯,也就是负责整理《推测术》的尼古拉斯也给出了自己的结论,和伯努利固定 $\frac{c}{c+1}$ 找 $N$ 的套路不同,尼古拉斯用了下面的描述方式
$$
P_d=P(|X-N_p|\leq d)\tag{1}
$$
这个公式显然是上面伯努利表示法的一个变形,尼古拉斯是固定 $N$ 来找 $P_d$ 。他的得到的结果是:
$$
P_d\geq1-max(a,b)\\
a=(\frac{[N(1-p)-d+1]Np^2}{(N_p+d)(N_p+1)(1-p)})^{\frac{d}{2}}\\
b=(\frac{(N_p-d+1)N(1-p)^2}{[N(1-p)+d][N(1-p)+1]p})^{\frac{d}{2}}
$$
当要满足 $P_d\geq \frac{c}{c+1}$ 则要找到最小的 $N$ 使满足:
$$
a\leq (c+1)^{-1}\\
b\leq (c+1)^{-1}
$$
上一章最后给出过具体的数字,尼古拉斯的解比伯努利的解有相当的改进,但是通过上面式子观察我们发现,$a,b$ 的计算依赖于 $p$ 这就有点不科学了,因为我们的目的就是为了推测 $p$ 是啥,当做已知数处理有点不太合理,如果用 $\frac{X}{N}$ 代替 $p$ 更是不合理,因为我们要求的就是 $N$ 所以不太合理,另一种做法是:把 $P_d$ 作为 $p$ 的函数,在 $p=\frac{1}{2}$ 处达到最小,因此只须对 $p=\frac{1}{2}$ 进行证明。
尼古拉斯的解有改进,但是还是没到完美,其根本原因是 $P_d$ 是一些二项概率之和,当时的条件下,还没有处理这种问题的方法。
狄莫弗从处理二项概率入手,取得了本质的突破,其成就对后世有极大影响,所以我们用一章来记录其过程

总结

本章主要讲解狄莫弗的研究结果,其对概率和数理统计的贡献大小不亚于伯努利。

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